05Jan

В треугольнике ABC медианы AA₁, BB₁, CC₁ пересекаются в точке O. Известно, что AA₁ = 3. CC₁ = 12. AC = 7. Найдите медиану BB₁ и площадь треугольника ABC. У меня получилось [latex]S = dfrac{35 sqrt{15} }{2} [/latex] [latex]BB_1 = dfrac{ sqrt{1339} }{2} [/latex] Возможно, у Вас получится другой ответ. За ответ заранее спасибо :)

Ингир Геометрия 1 12

В треугольнике ABC медианы AA₁, BB₁, CC₁ пересекаются в точке O. Известно, что AA₁ = 3. CC₁ = 12. AC = 7. Найдите медиану BB₁ и площадь треугольника ABC. У меня получилось [latex]S = dfrac{35 sqrt{15} }{2} [/latex] [latex]BB_1 = dfrac{ sqrt{1339} }{2} [/latex] Возможно, у Вас получится другой ответ. За ответ заранее спасибо :)

Posted by Ингир | Posted at Jan 05, 2014 | Categories: Геометрия

Answers

olgastelya
olgastelya

Медианы треугольника пересекаются в точке О, которая делит каждую медиану в отношении 2:1 считая от вершины (свойство). AO составляет 2/3 от 3, ОА1 составлят 1/3 от 3. АО = 2. ОА1 = 1 СО составляет 2/3 от 12, ОС1 составляет 1/3 от 12 СО = 8. OC = 4 Найдем площадь треугольника AOC по формуле Герона: S = [latex] sqrt{p*(p - a)* (p - b)* (p - c) } [/latex] p = (a + b + c) / 2 p(AOC) = (AO + CO + AC) / 2 p(AOC) = (2 + 8 + 7) / 2 = 17 / 2 S(AOC) = [latex] sqrt{ frac{17}{2} * ( frac{17}{2} - 2) * ( frac{17}{2} - 8) * ( frac{17}{2} - 7) } [/latex] = [latex] sqrt{ frac{17}{2} * frac{17 - 4}{2} * frac{17 - 16}{2} * frac{17 - 14}{2} } [/latex] = [latex] sqrt{ frac{17 * 13 * 1 * 3}{2*2*2*2} } [/latex] = [latex] sqrt{ frac{663}{16} } [/latex] (кв. ед) Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников (свойство) ⇒ S(ABC) = 3 * S(AOC) S(ABC) = [latex]3 sqrt{ frac{663}{16} } [/latex] = [latex] frac{3}{4} sqrt{663} [/latex] (кв. ед) ----------------------------------------------------------------------------------------------- Площадь треугольника AOB1 равна половине площади треугольника AOC. S(AOB1) = S(AOC) / 2 S(AOB1) = [latex] frac{1}{2} * sqrt{ frac{663}{16} } = sqrt{ frac{663}{16 * 4} } = sqrt{ frac{663}{64} } [/latex] (кв. ед) p(AOB1) = (AO + OB1 + AB1) / 2 AB1 = AC / 2 AB1 = 7/2 OB1 = x p(AOB1) = (2 + x + 7/2) / 2 p (AOB1) = [latex] (frac{4 + 2x + 7}{2} ) / 2[/latex] = [latex] frac{11 + 2x}{4} [/latex] S(AOB1) = [latex] sqrt{ frac{11+2x}{4} * ( frac{11 + 2x}{4} - 2) * ( frac{11 + 2x}{4} - x) * ( frac{11 + 2x}{4} - frac{7}{2}) } [/latex]  [latex] sqrt{ frac{11+2x}{4} * frac{11+2x - 8}{4} * frac{11 +2x - 4x}{4} * frac{11+2x - 14}{4} } [/latex] = [latex] sqrt{ frac{663}{64} } [/latex] [latex] sqrt{ frac{(11+2x) * (2x+3) * (11-2x) * (2x-3)}{4*4*4*4} } = sqrt{ frac{663}{64} } [/latex] Возводим обе части уравнения в квадрат [latex] frac{(11+2x)*(11-2x)*(2x+3)*(2x-3)}{256} [/latex] = [latex] frac{663}{64} [/latex] Умножаем обе части уравнения на 256 (121 - 4x²)(4x² - 9) = 2652 484x² - 16x⁴ - 1089 + 36x² - 2652 = 0 -16x⁴ + 520x² - 3741 = 0 x² = t ОДЗ t > 0, т.к. результат возведения в четную степень не может быть отрицательным и длина не может быть равной нулю -16t² + 520t - 3741 = 0 16t² - 520t + 3741 = 0 D = (-520)² - 4 * 16 * 3741 = 270400 - 239424 = 30976 √D = 176  t1 = (520 + 176) / 32 = 696/32 = 21,75  t2 = (520 - 176) / 32 = 344/32 = 10,75 Оба корня отвечают ОДЗ X1 = √21,75 X2 = √10,75 BB1 = OB1 * 3 1) OB1 = √21,75, тогда BB1 = 3√21,75 2) OB1 = √10,75, тогда BB1 = 3√10,75 При подстановке обоих вариантов в формулу Герона для треугольника AOB1 получается одинаковая площадь (Рисунок схематический)

Jan 05, 2014 06:21

Leave a answer